Introduction to Homomorphic Encryption

To be continued …

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1) Overview

Reference: Extended Euclidean Algorithm Tutorial

2) 모듈러 산술 (Modulo Arithmetic)

• Modulo Division (모듈러 나눗셈)
  • 모듈러 산술에서의 나눗셈은 일반적인 수학적 나눗셈과는 다르다. (엄밀히 말하면, 모듈러 나눗셈은 존재하지 않는다.) 왜냐하면 모듈러 연산 자체가 이미 나머지를 구하는 일종의 나눗셈이기 때문이다.

  • 하지만 어떤 수 $b$를 $a$로 “모듈러 나누기” 하고자 한다면, 이는 곧 $a$의 모듈러 역원 (modular inverse)을 이용한 곱셈으로 표현할 수 있다. \(b \div a \bmod q \; \equiv \; b \cdot a_{*}^{-1} \bmod q\)
    즉, 모듈러 나눗셈(modulo division)은 모듈러 곱셈 (modulo multiplication)으로 정의된다.

    📍 중요한 차이점:

    • 일반적인 나눗셈은 실수(real number)를 결과로 내지만,
      모듈러 나눗셈은 항상 정수(integer)를 결과로 낸다.
      (이는 $b$와 $a_{*}^{-1}$ 모두 정수이기 때문)
  • 마지막으로, 정수 $a$의 모듈러 역원은 확장 유클리드 알고리즘 (Extended Euclidean Algorithm)을 이용해 계산할 수 있다.
• 중심 잔여 표현 (Centered Residue Representation)

  • Canonical은 0부터 시작하는 잔여계, Centered는 0을 기준으로 대칭인 잔여계다

    지금까지 잔여(나머지, Residue)를 양의 정수(positive integer)라고 가정했다.

    • 모듈러 $q$에서 가능한 나머지 집합은 다음과 같다.
      \({0, 1, 2, \dots q-1}\)

      → 이 표현 방식을 표준 잔여계(canonical residue system) 또는 비부호형 잔여 표현 (unsigned residue representation) 이라고 부른다.

      🔸 하지만 또 다른 표현 방식도 존재한다.
      바로 부호형 잔여계 (signed or centered residue system) 로, 잔여들이 0을 중심으로 대칭되게 분포한다. \({-\frac{q}{2}, -frac{q}{2}+1, \dots, 0, \dots, frac{q}{2}-2, \frac{q}{2}-1}\)

      → 비부호형 잔여계나 부호형 잔여계 모두 잔여의 개수는 동일하게 $q$개이다. 차이는 단지 잔여 범위의 기준점(upper/lower bound)에 있다.

      표현 방식	잔여 집합	하한(lower bound)	상한(upper bound)
      Canonical (Unsigned)	$\{0, 1, 2, \dots, q-1\}$	0	$q-1$
      Centered (Signed)	$\{-\frac{q}{2}, \dots, 0, \dots, \frac{q}{2}-1\}$	$-\frac{q}{2}$	$\frac{q}{2}-1$

      💡 모듈러 연산의 역할
      모듈러 연산은 주어진 값을 위 두 시스템 중 하나의 잔여 범위로 변환한다.

      • 값이 상한보다 크면 → 모듈러스 $q$를 빼준다
      • 값이 하한보다 작으면 → 모듈러스 $q$를 더해준다

      → 따라서 두 시스템의 차이는 단지 잔여의 “표현 방식”일 뿐, 모두 동일한 모듈러 집합 $\mathbb{Z}_q$를 나타낸다.

      \[\mathbb{Z}_q = \{0, 1, 2, \dots, q - 1\}\]

  • Canonical과 Centered 잔여계는 모든 연산 성질이 동일하게 유지된다.

    표준 잔여계(canonical system)와 중심 잔여계(centered system)는 덧셈 $\cdot$ 뺄셈 $\cdot$ 곱셈 $\cdot$ 나눗셈의 모든 모듈러 성질은 동일하게 성립한다.

    \[(a \pm b) \bmod q, \quad (a \times b) \bmod q, \quad (a \div b) \bmod q\]

    → 이들이 어떤 잔여계에서 계산되든 결과의 동치 관계는 변하지 않는다.

    💡 이유:
    두 시스템 모두 같은 모듈러스 $q$를 사용하기 때문에,
    어떤 두 동치 잔여(congruent residues)라도 서로 $kq$의 차이를 가진다.
    즉,
    \(a \equiv b \pmod q \quad \Rightarrow \quad a - b = kq \quad (k \in \mathbb{Z})\)

    → 따라서 canonical 표현이든 centered 표현이든, 각 연산의 결과는 항상 같은 동치류(congruence class)에 속하게 된다.

  • Canonical과 Centered 잔여계의 연산 성질 중 역원도 동일하게 유지된다.

    모듈러 $q$에서 $a$의 역원은 다음을 만족한다.

    \[a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod q\]

    🔹 부호형(signed) 잔여 표현을 사용하는 이유는 특정 상황에서 모듈러 연산을 생략할 수 있을 정도로 계산을 단순화할 수 있기 때문이다.

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  #### 🧩 예제 1. Canonical (Unsigned) Representation 표준 잔여계에서는
  \((a + b) \bmod q\) 의 형태를 가정하자.
  만약 어떤 애플리케이션에서 항상 $0 \le a + b \le q - 1$ 이라는 조건이 보장된다면,

  \[(a + b) \bmod q = a + b\]

  따라서 모듈러 연산을 생략할 수 있다.
  (즉, 값이 잔여 범위 $[0, q-1]$를 벗어나지 않기 때문)

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  #### 🧩 예제 2. Centered (Signed) Representation 이번에는 중심 잔여계에서
  \((a - b) \bmod q\) 를 생각하자.
  만약 $a - b$가 항상 $[-\frac{q}{2}, \frac{q}{2} - 1]$ 범위 안에 있다면,

  \[(a - b) \bmod q = a - b\]

  이때도 모듈러 연산을 생략할 수 있다.

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  #### ⚠️ 주의: Canonical 표현에서의 뺄셈 만약 위와 같은 $(a - b) \bmod q$ 연산을 canonical 표현으로 계산한다면,
  $a - b$가 음수일 경우 그 값은 하한(0)보다 작아진다.
  이 경우 모듈러스 $q$를 하나 이상 더해주는(modulo reduction) 보정이 필요하다.

  예를 들어,
  \(a = 3, \quad b = 7, \quad q = 11\)
  이면
  \((a - b) \bmod 11 = (3 - 7) \bmod 11 = (-4) \bmod 11 = 7\)

  ✅ 정리:

  • canonical 표현: 음수가 되면 반드시 모듈러 보정 필요
  • centered 표현: ±범위 안이면 모듈러 보정 없이 연산 가능

  즉, 부호형(centered) 잔여 표현은 덧셈보다 뺄셈 연산에서 더 직관적이며 효율적이다.

  • §D-5.8 절에서는 centered residue representation의 유리한 성질을 활용하여 FastBConvEx 연산(Fast Balanced Convolution Extension) 을 설계한다.

    • 이 알고리즘에서는 다음과 같은 관계가 성립한다.
    \[(\mu + u) \bmod b^{\alpha}\]

    일반적으로는 모듈러 연산이 필요하지만,
    이때 $\mu + u$가 항상 centered residue 범위 내에 존재함이 보장된다.

    \[-\frac{b^{\alpha}}{2} \leq \mu + u < \frac{b^{\alpha}}{2}\]

    따라서, \((\mu + u) \bmod b^{\alpha} = \mu + u\)

    즉, 모듈러 연산을 생략하고 단순 덧셈으로 표현할 수 있다.
    이는 연산을 간소화하고 계산 효율을 높이는 핵심 아이디어이다.

    💡 핵심 포인트:

    • centered residue 표현을 사용하면,
      값이 잔여 범위를 벗어나지 않는 한 모듈러 처리가 불필요하다.
    • 이 특성은 고속 암호 연산(예: FastBConvEx) 설계 시
      불필요한 나머지 계산을 제거하여 성능을 최적화하는 데 사용된다.

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